Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника) Высшие гармоники в трехфазных цепях

Расчет электрических цепей переменного тока, магнитных цепей

Все предыдущие исследования электрических цепей касались установившихся режимов их работы, когда токи и напряжения были либо постоянны, либо менялись по заданному гармоническому закону. Однако, кроме названных режимов, характеризующих устойчивое стационарное состояние цепи, существуют режимы, которые можно назвать обобщенным понятием, как переходные режимы, или переходные процессы.

Анализ цепей синусоидального тока

Цель данного задания – ознакомить студентов с применением символического метода расчета сложных электрических цепей, основанного на комплексном представлении воздействий цепи и вызываемых ими реакций. Данный метод относится к методам анализа линейных электрических цепей в частотной области и служит для определения реакции цепи в установившихся режимах при гармоническом воздействии.

 Данное задание дает возможность показать применимость всех ранее рассмотренных методов анализа резистивных цепей для расчета цепей переменного тока, содержащих любое число активных и пассивных элементов.

  Для облегчения самостоятельного изучения комплексного метода анализа электрических цепей и выполнения контрольного задания в данном пособии изложены некоторые методические указания, рекомендации и проведены примеры расчета.

 Пример 1. Задано синусоидально изменяющееся напряжение u=100sin(wt+30°). Записать его в комплексной форме.


Решение. Гармонической функции времени f(t)=Fmsin(wt+y) соответствует комплексное изображение в показательной форме

где –комплексная амплитуда; ejwt–оператор вращения.

 В тригонометрической форме записи

f(t)ÛFmej(wt+y)=Fmcos(wt+y)+jFmsin(wt+y).

Вещественная часть данного комплексного числа соответствует косинусоидально-изменяющейся функции, а мнимая часть – синусоидальной функции. Следовательно, в данном примере

u=100sin(wt+30°)Û100ej(wt+30°)=100ej30°ejwt,

либо

  u=100sin(wt+30°)=Jm(100ej30°ejwt).


Комплексная амплитуда напряжения имеет вид


Комплексное действующее значение

 Пример 2. Записать мгновенное значение тока, если задано его комплексное действующее значение  и синусоидальный закон изменения.


Решение. Для записи мгновенного значения необходимо определить амплитуду и начальную фазу тока. Длина вектора, проведенного из начала координат комплексной плоскости в точку, соответствующую комплексному числу, и называемого модулем, есть действующее значение тока

Максимальное (амплитудное) значение тока  Угол yi, образуемый вектором  и положительным направлением вещественной оси, называемый аргументом комплексного числа – есть начальная фаза тока. Положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки. Вектор тока расположен во второй четверти комплексной плоскости (вещественная часть тока – отрицательна, а мнимая – положительна).

  Угол, образуемый вектором с вещественной осью, определяется как арктангенс отношения мнимой части комплексного числа к вещественной. Поэтому начальная фаза тока

  yi=180°-arctg(2/1)=180°–63°30'=116°30':


Таким образом, мгновенное значение тока

 Пример 3. В схеме (рис. 9) заданы u=56×sin(wt-p/2), r1=3.5 Ом, XC1=11.5 Ом, r2=XL3=XL1=4 Ом, XC2=r3=3 Ом. Определить все токи, показания вольтметра и амперметра электромагнитной системы, активную, реактивную и полную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.


Решение. Записываем комплексное действующее значение напряжения

Приведем схему к виду, показанному на рис. 10, где

Z1=r1+j(XL1–XC1)=3.5+j(4–11.5)=3.5-j7.5,

Z2=r2–jXC2=4-j3,

Z3=r3+jXL3=3+j4.


Определяем эквивалентное сопротивление параллельного участка a–b:


Комплексное входное сопротивление всей схемы

Zвх=Z1+Zab=(3.5-j7.5)+(3.5+j0.5)=7-j7=7×e-j45°

Входной ток



Действующее значение тока


Определяем напряжение на зажимах a–b параллельного участка

вольтметр покажет V=||=20 B, а амперметр A=||=4 A.


Токи в параллельных ветвях

Токи  и  могут быть определены по формулам


Вычислим активные и реактивные составляющие токов I2 и I3.

 Угол сдвига фаз между напряжением  и током  (он равен аргументу Z2) равен j2=yuab–yi2=-36°50'–0=-36°50', а угол сдвига фаз между  и

j3=yuab–yi3=-36°50'–(-90°)=53°10'.

Тогда активные составляющие токов I2 и I3

I2a=I2 cosj2=4×cos(-36°50')=4×0.8=3.2,

I3a=I3 cosj3=4×cos(53°10')=4×0.6=2.4.

Реактивные составляющие токов I2 и I3

I2р=I2 sinj2=4×sin(-36°50')=-4×0.6=-2.4,

I3р=I3 sinj3=4×sin(53°10')=4×0.8=3.2.


Наконец, определим полную, активную и реактивную мощности в схеме. Запишем мощность в комплексной форме:

где – полная мощность в комплексной форме;

 P=Re()=U×I×cosj  – активная мощность;

 Q=Jm()=U×I×sinj  – реактивная мощность;

 I* – комплексный ток, сопряженный с .

Таким образом, мощность источника


Следовательно,

Активная мощность, поступающая из источника, рассеивается в виде тепла в сопротивлениях резисторов схемы;

P=Pr1+Pr2+Pr3=I12r1+ I22r2+ I32r3=(4)2×3.5+42×4+42×3=224 Вт.

Активная мощность в резисторах r2 и r3 может быть определена и так:

Pr2=Uab×I2a=Uab×I2×cosj2=20×3.2=64 Вт; 

Pr3=Uab×I3a=Uab×I3×cosj3=20×2.4=48 Вт.

Реактивную составляющую полной мощности можно определить также следующим образом:

Q=QL–QC=(I12XL1+I32XL3)–( I12XC1 +I22XC2)=[(4)2×4+42×4]–[(4)2× 11.5+42×3]=-224 вар,

а для реактивных мощностей участка a–b

QC2=Uab×I2×sinj2=Uab×I2p=20(-2.4)=-48 вар,

QC3=Uab×I3×sinj3=Uab×I3p=20×3.2=64 вар.

Баланс мощностей выполняется.

 На рис. 11 приведена векторная диаграмма токов, построенная в комплексной плоскости на основании первого закона

Кирхгофа


Для построения векторной диаграммы напряжений для любого контура (всей цепи) следует предварительно рассчитать напряжения на всех пассивных элементах и источниках токов схемы, задавшись их положительным направлением.


На рис. 11 приведена векторная диаграмма, построенная согласно уравнению по второму закону Кирхгофа


где

=×r1=(4-j4)×3.5=14-j14=14×e-j45°;

c1=1×(-jXc1)=(4-j4)(-j11.5)=-46–j46=46×e-j135°;

r3=3×r3=-j4×3=-j12=12×e-j90°;

L3=3×jXL3=-j4×j4=16=16×ej0°;

L1=1×jXL1)=(4-j4)×j4=16+j16=16×ej45°;

=-j56=56×e-j90°; ab= r3+ L3;

r2=2×r2=4×4=16=16×ej0°;

C2=2×(-jXc2)=4×(-j3)=-j12=12×e-j90°;

а напряжение на параллельных ветвях ab= r2+ С2=16-j12.

Построение начинаем, например, с вектора r1, который совпадает по направлению с током 1. Вектор С1 отстает от вектора тока 1 на угол 90° . Вектор напряжения r3 совпадает с направлением тока 3 и т. д. Векторные диаграммы построены для комплексных действующих значений токов и напряжений (для комплексных амплитуд векторы должны быть умножены на ).


Пример 4. В схеме (рис. 12) заданы 1=-j110 B, 3=j10 B, 5=j20 B, =40 A, X1=15 Ом, X2=5 Ом, X3=10 Ом, r4=4 Ом, X5=7 Ом. Определить все токи, показания амперметра и вольтметра электромагнитной системы. Составить баланс мощностей.

 Решение. Воспользуемся методом контурных токов. Так как в схеме имеется ветвь с идеальным источником J, то в качестве одного из контурных выбираем ток, равный заданному источнику J. При этом должно выполняться условие: в данной ветви должен быть лишь один контурный ток – ток источника J.

  С учетом этого выбираем систему независимых контуров с указанными на рис. 12 положительными направлениями контурных токов 11, 22, 33==40 A.

 Записываем систему уравнений в канонической форме. Система состоит из двух уравнений:

11Z11+ 22Z12+ 33Z13=11,

11Z21+ 22Z22+ 33Z23=22,

где собственные сопротивления первого и второго контуров равны:

Z11=Z1+ Z2+ Z3=-jX1+ jX2+ jX3=-j15+j5+j10=0 Ом,

Z22=Z4+ Z3+ Z5=r4+ jX3– jX5=4+j10–j7=4+j3 Ом,

а общие сопротивления ветвей, принадлежащих смежным контурам,

Z12=Z21=-Z3=-jX3=-j10, Z23=Z4=r4=4,

Z13=Z31= Z2=jX2=j5.

Знаки у сопротивлений обусловлены встречным направлением контурных токов 11 и 22 в сопротивлении Z3 и одинаковым направлением 33 и 11, 22 и 33 соответственно в сопротивлениях Z2 и Z4.

 Контурные ЭДС

11=-1– 3=-(-j110)–j10=j100,

22=3+ 5=j10+j20=j30.

Решая систему уравнений

  11×0– 22×j10+40×5=j100,

  -11×j10+22×(4+j3)+40×4=j30,

находим контурные токи

 11=-j20, 22=10, а 33=J=40.

 Комплексные токи в ветвях схемы указанных направлений (см. рис. 12) определяем, учитывая, что ток в ветви, принадлежащей одному контуру, равен контурному току с учетом знака; ток в ветви, принадлежащей нескольким контурам, равен алгебраической сумме контурных токов; в обоих случаях со знаком "плюс" берется контурный ток, направление которого совпадает с направлением искомого тока ветви.

 Таким образом,

 1= -11=j20, 2=-(11+ 33)=-40+j20,

 3=22– 11=10+j20, 4=22+ 33=10+40=50, 5= 22=10.

 Мгновенные значения токов записываем, переходя от их комплексных действующих значений:

 i1=20×sin(wt+90°),

 i2=20×sin(wt+153°30'),

 i3=10×sin(wt+63°30'),

 i4=50×sin wt,

  i5=10×sin wt,

  Û40sin wt.


Амперметр А3 показывает действующее значение тока I3,


или

 Определим напряжение на зажимах источника тока, выбрав его направление, например ca. Уравнение по второму закону может быть записано для любого контура, в который входит ветвь с источником тока.

 При обходе контура a–f–c–a по часовой стрелке получим уравнение

 2jX2– 4r4+ ca=0,

откуда

 ca=4r4– 2jX2=50×4–(-40+j20)j5=300+j200 B.

Вольтметр V, измеряющий действующее значение напряжения Uca, покажет

ris10


 Баланс мощностей можно составить только для всей схемы, он служит для проверки правильности расчета.

  Полная комплексная мощность источников должна быть равна полной комплексной мощности потребителей:


На схеме (см. рис. 12) 1 и 1, 5 и 5, 3 и 3 направлены в одну сторону и являются источниками энергии; напряжение ca и ток  направлены встречно, т. е. – источник энергии.

 Таким образом

åист= 1I*1+ 3I*3+ 5I*5+JJ*=(-j110)(-j20)+j10(10-j20)+j20×10+ (300+j200)40=10000+j8300.

Pист=10000 Вт, Qист=8300 вар.

 Потребителями являются все пассивные элементы схемы, потребляемую мощность которых можно посчитать так:

åпотр=å(Ik2Zk),

где Ik– действующие значения токов (модули);

 Zk– комплексные сопротивления.

Тогда

åпотр=I12Z1+ I22Z2+ I32Z3+ I42Z4+ I52Z5=202(-j15)+(20)2(j5)+ (10)2(j10)+ 502×4+102(-j7)=10000+j8300,

Pпотр=10000 Вт, Qпотр=8300 вар.

Баланс мощностей сходится.

После коммутации в цепи возникает переходный процесс, который теоретически длится бесконечно долго. Однако фактически время переходного процесса достаточно мало. Тем не менее изучение переходных процессов важно, так как даёт возможность выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, опасные для изоляции установок, увеличение амплитуд токов, которые могут многократно превышать амплитуду тока установившегося режима.
Порядок расчета методом двух узлов